Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
On sait que \((u_n)_n\) est décroissante
Déterminer le signe de \(u_n\) pour \(n\geqslant0\)

Montrons par récurrence que \(u_n\) est strictement positif \(\forall n\in{\Bbb N}\)
Initialisation : \(u_0=a\gt 0\)

Hérédité : si \(u_n\gt 0\), alors on a : $$\begin{align} u_{n+1}&=u_n-u_n^2\\ &={u_n}(1-u_n)\end{align}$$
On a \(u_n\gt 0\) par hypothèse de récurrence
De plus, \(1-u_n\gt 0\) car \((u_n)_n\subset]0,1[\)
Donc \(u_n\) est positif \(\forall n\in{\Bbb N}\) d'après le principe de récurrence